伊藤の補題

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【いとうのほだい (Itô's lemma)】


拡散過程X_t \,の微小時間dt \,での平均が\mu (t, X_t) {\mbox{d}}t \,, 分散が\sigma^2 (t,X_t) {\mbox{d}}t \,で与えられるとき, 確率微分方程式では

{\mbox{d}}X_t=\mu(t,X_t){\mbox{d}}t +\sigma (t,X_t) {\mbox{d}}B_t \,

と表現する. ここでB_t \,はブラウン運動である. さらにY_t=g(t,X_t) \,と変換すると, Y_t \,は伊藤の補題により,

 \mbox{d}Y_t = g_t(t, X_t) \mbox{d}t + g_x(t, X_t) \mbox{d}X_t 

+ (1/2)g_{xx}(t, X_t)(\mbox{d} X_t)^2  \,

を満たす.

ただし({\mbox{d}}X_t)^2 \,は, 計算規則

 {\mbox{d}}t \cdot {\mbox{d}}t = {\mbox{d}}t \cdot {\mbox{d}}B_t = {\mbox{d}}B_t \cdot {\mbox{d}}t = 0, \ \ {\mbox{d}}B_t \cdot {\mbox{d}}B_t={\mbox{d}}t \,

により与えられる.

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